微积分公式速查表

1. 极限 Limits

基本极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{1/x}=e$$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$$$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$$

等价无穷小（$x\to 0$）

函数	等价
$\sin x$	$x$
$\tan x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\arctan x$	$x$
$1-\cos x$	${\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
$e^x-1$	$x$
$\ln (1+x)$	$x$
$(1+x{)}^{\alpha }-1$	$\alpha x$

---

2. 导数 Derivatives

求导法则

线性法则：

$$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }$$

乘积法则：

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

商法则：

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

链式法则：

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

基本导数公式

函数 $f(x)$	导数 $f^{\prime }(x)$
$c$（常数）	$0$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	${\displaystyle \frac{1}{x}}$
${\log }_{a}x$	${\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\arcsin x$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$
$\arccos x$	$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$
$\arctan x$	${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

高阶导数

莱布尼茨公式：

$$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$$

常见高阶导数：

$$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$$$$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$$$$(x^n{)}^{(n)}=n!$$

---

3. 微分中值定理

罗尔定理： 若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可微，且 $f(a)=f(b)$，则 $\mathrm{\exists }c\in (a,b)$，使 $f^{\prime }(c)=0$。

拉格朗日中值定理：

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a),c\in (a,b)$$

柯西中值定理：

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)},c\in (a,b)$$

洛必达法则（$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型）：

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

---

4. 泰勒展开 Taylor Series

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

麦克劳林展开（$a=0$）常用公式：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$$$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$$$$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$$$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (-1<x\le 1)$$$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots (-1<x<1)$$$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots (|x|<1)$$

---

5. 不定积分 Indefinite Integrals

基本积分公式

被积函数	积分结果
$x^n$（$n\ne -1$）	${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C$
${\displaystyle \frac{1}{x}}$	$\ln |x|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$	${\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C$
$\ln x$	$x\ln x-x+C$
$x\ln x$	${\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sec x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\csc x$	$\ln |\csc x-\cot x|+C$
$\tan x$	$-\ln |\cos x|+C$
$\cot x$	$\ln |\sin x|+C$
${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$
${\csc }^{2}x$	$-\cot x+C$
$\sec x\tan x$	$\sec x+C$
$\csc x\cot x$	$-\csc x+C$
${\tan }^{2}x$	$\tan x-x+C$
${\cot }^{2}x$	$-\cot x-x+C$
$I_n={\sec }^{n}x$	$\frac{1}{n-1}(\tan x{\sec }^{n-2}x+(n-2)\cdot I_{n-2})$
$\arcsin x$	$x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$
$\arctan x$	$x\arctan x+\ln (1+x^2)+C$
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$	$\arcsin x+C$
${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$	$\arctan x+C$
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}$	$\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$	$\arcsin {\displaystyle \frac{x}{a}}+C$
${\displaystyle \frac{1}{a^2+x^2}}$	${\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{x}{a}}+C$
${\displaystyle \frac{1}{a^2-x^2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2a}}\ln \left|{\displaystyle \frac{x+a}{x-a}}\right|+C$
${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2a}}\ln \left|{\displaystyle \frac{x-a}{x+a}}\right|+C$
$\sqrt{a^2-x^2}$	${\displaystyle \frac{a^2}{2}}\arcsin {\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}\sqrt{a^2-x^2}+C$
$\sqrt{a^2+x^2}$	${\displaystyle \frac{a^2}{2}}\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+{\displaystyle \frac{x}{2}}\sqrt{a^2+x^2}+C$

积分法则

分部积分：

$$\int udv=uv-\int vdu$$

换元法（第一类）：

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du,u=g(x)$$

换元法（第二类）：

$$\int f(x)dx\stackrel{x=\phi (t)}{\to }\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

通解

• $$\int {\displaystyle \frac{A}{(x-k{)}^{\alpha }}}dx=\{\begin{array}{ll}A\ln |x-k|+C& \alpha =1\\ {\displaystyle \frac{A}{(1-\alpha )(x-k{)}^{\alpha -1}}}& \alpha >1\end{array}$$
• $$\int {\displaystyle \frac{Ax+B}{(x^2+\mu x+\nu {)}^{\alpha }}}dx$$

---

6. 定积分 Definite Integrals

微积分基本定理

第一基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),F^{\prime }=f$$

第二基本定理：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

变上限求导：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

常用性质

$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$$${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$$$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}2{\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)dx}& f\text{ 为偶函数}\\ 0& f\text{ 为奇函数}\end{array}$$

周期性质

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$$$${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$$

区间再现

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$$${\int }_0^{\pi }x\cdot f(\sin x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

Wallis 公式：

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& n\text{ 为偶数}\\ {\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}}& n\text{ 为奇数}\end{array}$$

常用定积分结果

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{（高斯积分）}$$$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

---

7. 反常积分 Improper Integrals

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx$$$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx\text{（}x=a\text{ 为奇点）}$$

p 级数收敛判断：

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& p>1\\ \text{发散}& p\le 1\end{array}$$