数集、环、域

研究某集合的基本方法

• 序关系（偏序，全序）
• 代数结构 （运算法则）
• 拓扑结构 （映射形状）

自然数集的公理化

Peano公理

设集合$X$,规定$X$上的一个映射$S$, 若$X$和$S$满足

• $1^{\circ }x\in X$
• $2^{\circ }x\notin S(X)$
• $3^{\circ }S$是一个单射
• $4^{\circ }$ 设 $A\subseteq X$ 若$x\in A$且对任一$a\in A$都有$S(a)\in A$,则$A=X$

则称集合$X$是自然数集 (set of natural numbers), 记作 $N$. 自然数集中的元素称为自然数 (natural number). $x$称 为初始元素 (initial element). $S(x)$ 称为 $x$ 的后继元 (successor), 其中$S$ 称为后继映射 (successor map).

$1^{\circ }{2}^{\circ }{3}^{\circ }$可以确定: 在从 $x\to ?$ 的路上,不会出现某个元素的后继元在这个元素之前就已经出现的现象
也就是不可能形成循环
而$4^{\circ }$,则是用来确定$A$的唯一性, 即确定: 起点 $x$的唯一性
从而实现$0\to \mathrm{\infty }$,而不是$?\to \mathrm{\infty }$

数学归纳

公理 $4^{\circ }$ 被称为数学归纳公理 , 实际上其是一条公理模式 , 即可以用来证明和自然数有关的命题的公理

设自然数集$\mathbb{N}$,$S$是$\mathbb{N}$上的后继映射. $x\in \mathbb{N}$ 且 $x\notin S(\mathbb{N})$. 若满足

• $1^{\circ }$当$n=x$时, 命题P成立.
• $2^{\circ }$当$n=k$时命题P成立,则当$n=S(k)$时命题P也成立.

则对于一切$n\in \mathbb{N}$命题都成立

自然数加法

自然数乘法

自然数的序关系

整数环和环公理

构建整数

加法的逆运算

乘法的逆运算（整除）

环公理

整数序关系

有理数域和域公理

构建有理数

封闭的乘法逆运算——除法

数域和域公理

有理数域序关系