逻辑推理系统

逻辑推理是研究数学的重要基础

逻辑推理是根据一些已知内容推理出一些结论、判断某些结论或假设的真假。

通过自然语言的方式，描述已知信息、推理等是较为复杂的

因此，逻辑推理系统首要处理的就是自然语言的简化描述

例如：

$\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{今}\mathrm{天}\mathrm{下}\mathrm{雨}，\mathrm{就}\mathrm{不}\mathrm{上}\mathrm{课}\mathrm{了}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{于}p\to \mathrm{\neg }q$

$$\begin{gathered} p:\mathrm{今}\mathrm{天}\mathrm{下}\mathrm{雨},q:\mathrm{今}\mathrm{天}\mathrm{上}\mathrm{课} \\ \to :\mathrm{推}\mathrm{理},\mathrm{\neg }:\mathrm{非} \end{gathered}$$

逻辑推理系统，通俗的说，就是对命题的处理方式的描述，并构建出方便推理的方法，以得出结论

基本概念

自然语言将命题表述为具有确定真假含义的陈述句

自然的，非陈述句型并非命题，非真假二值的句子同样不属于命题

符号化

• 对于简单的命题，使用小写字母$p,q,r,s,t\dots$表示，如$p:\mathrm{今}\mathrm{天}\mathrm{是}\mathrm{晴}\mathrm{天}$，$q:\mathrm{昨}\mathrm{天}\mathrm{下}\mathrm{雨}\mathrm{了}$
• 对于两个命题的联结方式，有诸如$\mathrm{非}:\mathrm{\neg },\mathrm{与}:\wedge ,\mathrm{或}:\vee ,\mathrm{蕴}\mathrm{含}:\to ,\leftarrow ,\mathrm{等}\mathrm{价}:\leftrightarrow$
• 关系$⟹,⟸,⟺$

优先级

符号化是方便了运算得出结论，但当大量联结词堆叠，仅仅依靠从左到右的次序，就会出现歧义，因此有联结词的优先级，如我们从小学就开始接触的括号，就是为了提升运算优先次序，优先级表如下，$>$仅表示优先于：

$$()>\mathrm{\neg }>\wedge >\vee >\to >\leftrightarrow$$

等值演算

对于不同的命题表述，可能会有相同的结果，同样的也会有相同的真假

推理出命题表述的真假，需要使用等价的关系，将命题简化到可辨真假的程度

等价关系

对于A,B,C

$$\begin{array}{rl}A& ⟺\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\\ A& ⟺A\wedge A\\ A& ⟺A\vee A\\ A\wedge B& ⟺B\wedge A\\ A\vee B& ⟺B\vee A\\ A\leftrightarrow B& ⟺B\leftrightarrow A\\ (A\wedge B)\wedge C& ⟺A\wedge (B\wedge C)\\ (A\vee B)\vee C& ⟺A\vee (B\vee C)\\ (A\leftrightarrow B)\leftrightarrow C& ⟺A\leftrightarrow (B\leftrightarrow C)\\ A\vee (B\wedge C)& ⟺(A\vee B)\wedge (A\vee C)\\ A\wedge (B\vee C)& ⟺(A\wedge B)\vee (A\wedge C)\\ A\to (B\to C)& ⟺(A\to B)\to (A\to C)\\ \mathrm{\neg }(A\wedge B)& ⟺\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B\\ \mathrm{\neg }(A\vee B)& ⟺\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B\\ A\wedge 1& ⟺A\\ A\vee 1& ⟺1\\ A\wedge 0& ⟺0\\ A\vee 0& ⟺A\\ A\vee \mathrm{\neg }A& ⟺1\\ A\wedge \mathrm{\neg }A& ⟺0\\ A\to B& ⟺\mathrm{\neg }A\vee B\\ A\leftrightarrow B& ⟺(A\to B)\wedge (B\to A)\\ A\to B& ⟺\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A\\ A\leftrightarrow B& ⟺\mathrm{\neg }A\leftrightarrow \mathrm{\neg }B\\ (A\to B)\wedge (A\to \mathrm{\neg }B)& ⟺\mathrm{\neg }A\\ (A\wedge B)\to C& ⟺A\to (B\to C)\end{array}$$

范式

• 析取范式 以$\vee$联结
• 合取范式 以$\wedge$联结

推理

根据以上等价关系，通过等值演算推导出的结果